Denne side giver et bevis for Betz’ lov. Du bør have læst siderne om hvordan en vindmølle afbøjer vinden og Betz’ lov inden du går i gang med beviset. Hvis du ikke kan følge de detaljerede beregninger, så skrålæs blot resten af siden, som bruger Betz’ eget ræsonnement fra bogen “Wind Energie” fra 1926.
Bevis for Betz’ teorem
Lad os gøre den rimelige antagelse, at den gennemsnitlige vindhastighed gennem rotorarealet er gennemsnittet af den uforstyrrede vind foran vindmøllen, , og vindhastigheden efter passagen gennem rotorplanet, , dvs. . (Betz beviser dette).
Den luft, der strømmer gennem rotoren i løbet af et sekund, har massen
hvor m er massen pr. sekund, ρ er luftens massefylde, F er det bestrøgne rotorareal og er den gennemsnitlige vindhastighed gennem rotorarealet. Den effekt, der tages fra vinden ved hjælp af rotoren er lig med massen gange faldet i kvadratet på vindhastigheden (efter Newtons 2. lov):
Substituerer vi m ind i dette udtryk (fra den første ligning), får vi følgende udtryk for den effekt, der trækkes ud af vinden:
Lad os derefter sammenligne resultatet med den samlede effekt i den uforstyrrede vind, der løber gennem det samme areal – uden nogen rotor, der bremser vinden. Vi kalder denne effekt for :
Forholdet mellem den effekt, vi trækker ud af vinden og effekten i den uforstyrrede vind er dermed:
Vi kan tegne
som en funktion af
:
Vi kan se, at funktionen har maksimum for
, og at den maksimale værdi for den effekt, der kan trækkes ud af vinden er 0,59 eller 16/27 af den samlede effekt i vinden.
Klik her for at komme tilbage til siden om Betz’ lov i rundturen.